$$P(B)=\prod_{i=1}^{10}P(\overline{A_i})=(1-P(A_1))^{10}.$$
&=&\sum_{n=k}^{\infty}(n+1)p^2(1-p)^n\frac{1}{n+1}=p(1-p)^k. Or, chaque $X_k$ suit une loi de Poisson de paramètre $8$, et les variables aléatoires
Soit $Y_1,\dots,Y_r$ des variables aléatoires indépendantes suivant une loi géométrique de paramètre $p$. Donner sa loi, son espérance, sa variance. &=&\frac{e^{-(\lambda+\mu)}(\lambda+\mu)^n}{n!}. \begin{eqnarray*}
&=\frac{k+1}p+1-\frac1p-\frac{(1-p)^2}{p^2}+\frac{1-p}{p^2}(1-p)^{k+1}\\
Montrer que l'on a $p_n=\frac{2}{9}p_{n-2}+\frac{1}{3}p_{n-1}$, $n\geq 4$. $$P(A_1=i_1,\dots,A_n=i_n)=q^{i_1-1}pq^{i_2-1}p\dots q^{i_n-1}p.$$
D_{s+1}-D_s\leq 0 &\iff (1-p)^{d-s}\leq \frac 12\\
Si $X$ est impair, Pierre gagne et reçoit $X$ euros de Paul. Cet événement a pour probabilité $p^iq^jp=p^{i+1}q^j$. P(Z=k)&=&\frac{e^{-\lambda}p^k\lambda^k}{k! Pour des causes diverses, les interventions ont parfois lieu avec retard. Interpréter la valeur de $E(X)$. On suppose qu'on dispose d'un espace probabilisé $(\Omega,P)$ permettant d'étudier cette expérience. E(X)&=&\sum_{n=1}^\infty nP(X=n)\\
suivant que $n\ge k$ ou $nz'séɦÅaÌ@+ÐÁTVȸ Çð,Äråh1xRÅÃà+0Ýá\èåRì´µ óÓ"P#ÉùUDð´{¥"SÃaC²Ç®£cOëÁ¹{Tüù*ÓgpÔ,4)äuìRÌìz»Ìí2¢4+A1»DiSZóĨi©mSLÄ`)8DHÀê5ÞÓZ°ÍÓ. on obtient $i$ boules blanches, puis $j$ boules noires, puis une boule blanche. \end{eqnarray*}
La série génératrice de $Z$ est obtenue en effectuant le produit de Cauchy de ces deux séries. }\\
Enjoy the videos and music you love, upload original content, and share it all with friends, family, and the world on YouTube. $$P(X=Y)=\sum_{n=1}^{+\infty}P(X=n\cap Y=n)=\frac{pq}{1-pq}.$$, On a $S(\Omega)=\{2,3,\dots,\}$. En tant que jeune conducteur, Rémi ne dispose que de 6 points sur son permis. echette et le centre de la cible, et X la variable al eatoire repr esentant le gain du joueur. Reconnaitre une loi géométrique. On a $Z=h$ si, et seulement si, il existe $j$ avec $Y=j$ et $X=h+j$. &=&120. On en déduit que
Après chaque tirage, la boule piochée est remise dans l'urne. Mais comme $P(Y>0)=0$ est exclu, c'est donc que $P(Y>0)=1$. $F_k$) l'événement "on obtient pile" (resp. &=E(X-d)\\
Alors $A$ est la réunion disjointe des événements $\{X=3k+1\}$, pour $k\in\mathbb N$. $$P(Y=k)=\frac{k}{k+1}\times\frac{1}k\times\cdots\times\frac 13\times\frac 12=\frac{k}{(k+1)! P\left( B\right) \\
Si $X$ admet une espérance, la série $\sum k P(X=k)$ converge. En déduire la loi de $X$, puis la loi de $Y$. }e^{-a}\\
En moyenne, si on répète un grand nombre de fois l'expérience aléatoire, il faudra 15/4 lancers (non entier!) &=&ae^{-2a}. L'événement $(X=2)$ correspond à :
Soit $T$ une variable aléatoire sur $\Omega$ à valeurs dans $\{0,\dots,k\}$. Documents, calculatrices et ⦠Faire le produit de Cauchy des deux séries. Soit maintenant $k\in\mathbb N$ tel que
De plus, pour $k\in\mathbb N^*$, on a
L'événement $(X=i)\cap (Y=j)$ correspond à deux cas : on obtient $i$ boules noires, puis $j$ boules blanches, puis une boule noire. }{\left(1-\frac {19}{20}\right)^6}\\
}\\
\begin{eqnarray*}
Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois géométriques de paramètres respectifs $p$ et $q$. Dans le calcul de $p-q$, reconnaitre le développement en série entière de $e^{-a}$. \begin{align*}
En particulier,
Exemple: On lance 2 dés à 6 faces, numérotées de 1 à 6. &=&\frac{e^{-\lambda}p^k \lambda^k}{k!} \begin{align*}
&\iff (d-s)\geq \frac{-\ln 2}{\ln (1-p)}\\
Alors si $X=k$, on a fait $r+k$ lancers : $r$ amenant piles, et $k$ amenant faces. $$(X=3)=F_1P_2P_3\implies p_3=\frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac4{27}.$$
&=&\frac{1}{4}+\frac{5}{8}+21\sum_{n=3}^{+\infty}\frac{n}{4^n}. $$u_k=\sum_{i=0}^k (k-i)(1-p)^i.$$
Montrer que E(X) = 0 Reconnaitre le schéma d'une loi classique. L'événement $B$ ``aucun hôpital n'est saturé'' est égal Ã
Une urne contient $b$ boules blanches et $r$ boules rouges indiscernables au toucher ($r$ et $b$ sont deux entiers naturels dont au moins un est non nul). Mais c est absolument pas ça la définition d une fonction discrète ou continue. &=&e^{-m}\left(\frac{p}{q}\right)^k\frac{1}{k!}(mq)^k\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(mq)^{n}}{(n)! D'où le résultat. Utiliser la formule des probabilités totales. Quelle est la probabilité d'obtenir 3 fois pile? Par le théorème de transfert, puisque $X$ prend ses valeurs dans $\mathbb N\cap [s,+\infty[$,
Comme les événements sont indépendants, on a
Soit $p\in]0,1[$. &=&\sum_{n=k}^{+\infty} \binom nk p^k(1-p)^{n-k}e^{-\lambda}\frac{\lambda^n}{n! pour obtenir pour la première fois deux piles consécutifs. Variable Aléatoire Discrète. On doit ensuite calculer une somme géométrique. &=&\frac{1}{n+1-k}\times \frac{n+1-k}{n+2-k}\times\cdots\frac{n-1}n\times\frac 1n\\
D'après la formule des probabilités totales,
}.$$, Il y a deux possibilités pour justifier la convergence de la série. }\\
Notre stratégie consiste à choisir un numéro $s$ compris entre $0$ et $d$. $$S_1=(d-s)-\frac{1-p}{p}+\frac{1-p}{p}(1-p)^{d-s}.$$, On a
p-q&=&\sum_{n=0}^{+\infty}P(X=2n+1)-\sum_{n=1}^{+\infty}P(X=2n)\\
$$1-P(B)=1-(1-P(A_1))^{10}\simeq 0,\!87.$$. $Y$ prend ses valeurs dans $\left\{\frac{1}{1+k};\ k\geq 0\right\}$ et on a
La variable aléatoire $X$ prend ses valeurs dans $\mathbb N$. On suppose que quand un hôpital est saturé, il peut opérer un transfert de malades vers un autre hôpital. On a donc
\newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} Utiliser les formules $E(Y+a)=\dots$ et $V(Y+a)=\dots$. Voici l'arbre de probabilité attendu, où on a fait une branche "vers le haut" si on a tiré une boule blanche, et une branche "vers le bas" si on a tiré une boule noire. De la même façon, on trouve pour $Y$
&\iff (d-s)\ln (1-p)\leq -\ln 2\\
P(Z=k)&=&\sum_{n=k}^{+\infty}P(Z=k,Y=n)\\
}\sum_{u\geq 0}\frac{\big(\lambda(1-p)\big)^u}{u! $$(1-p)P(G_1)+P(G_1)=1\implies P(G_1)=\frac{1}{2-p}$$
&=&\left\{\begin{array}{ll}
Une rampe verticale de spots nommés de bas en haut $S_1,\ S_2,\ S_3,\ S_4$ change d'état de la manière suivante : Tous les jours, Rémi fait le trajet entre son domicile et son travail. Quelle est la loi de $X$ (on reconnaitra une loi classique)? \begin{align*}
On a donc
Une fois assis et les idées claires, donne sa réponse à lâindividu (sous la forme de « oui » ou « non »). ce qui montre que les variables $A_1,\dots,A_n$ sont indépendantes. }\textrm{ et }b_n=\frac{e^{-\mu}\mu^n}{n! Ceci prouve que $Y$ admet une espérance. &=\sum_{l\in\mathbb Z}\sum_{j=0}^k l P(T=j)P(S_j=l)\\
\begin{align*}
C'est que la série converge. $X$ prend ses valeurs dans $\mathbb N\cap [s,+\infty[$. En particulier, on a
On peut modifier (plutôt que compléter) l'algorithme de la façon suivante : On a $E=\{1,2,\dots,r+1\}$ : à chaque tirage on retire une boule rouge, on ne peut donc pas tirer plus de $r$ boules rouges. Pour tout $k\in\mathbb N$, on a
$$P(Y=k)=P(X=k+s-1)=p(1-p)^{k-1}.$$
Remarquons que Pierre est avantagé à ce jeu. d'où on déduit immédiatement que
Remarquer que $T=n$ si et seulement si $S_{n-1}=5$ et $X_n=1$. \left( n-k\right) ! &=&1. Soit fune fonction continue sur R , positive, et dont lâensemble des zéros est précisément Zâ prendre par exemple pour fla fonction « distance à Z», et ⦠P(S=k)&=pq^k \frac{\frac pq-\left(\frac pq\right)^k}{1-\frac pq}+
Utiliser deux variables : une désignant l'instant, et une désignant le spot allumé. En déduire l'expression de $p_n$ pour tout $n$. }\left(\frac 1{20}\right)^6\sum_{n\geq 6}(n-1)\cdots(n-5)\left(\frac{19}{20}\right)^{n-6}\\
On remarque d'abord que $X$ prend la valeur $1$ avec la probabilité $2/5$. $ est une variable aléatoire $Y$ qui suit une loi de Poisson de
En déduire, en utilisant le système complet
Montrer que $X$ admet une espérance, puis la calculer. &=&P(A_k|A_{k-1})P(A_{k-1}|A_{k-2})\cdots P(A_1)\\
On considère une suite de parties indépendantes de pile ou face, la probabilité d'obtenir "pile" à chaque partie étant égale à $p$, où $p\in]0,1[$. E(Y)&=p\sum_{j=1}^{+\infty}pq^{j-1}+q\sum_{j=1}^{+\infty}qp^{j-1}\\
\begin{eqnarray*}
Il faut chercher la loi de $X$. On suppose que les lancers sont indépendants les uns des autres. En déduire la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. On a ensuite
\end{align*}. Démontrons cette propriété par récurrence. \begin{eqnarray*}
Maintenant, il reste $n-2$ lancers, et le premier "double pile" doit arriver au bout du $n-2$ième. Écrire que $X+Y=k$ si et seulement si $X=l$ et $Y=k-l$ pour $l=0,\dots,k$. Quelle est la loi de probabilité de X, (on donnera le type de loi et les formules de calcul), son espérance, sa variance et son écart-type? }\left( 0.9\cdot 20\right) ^{n} \\
Soit $n$ un entier naturel et $X$ une variable aléatoire suivant la loi géométrique $\mathcal G(1/n)$. \begin{eqnarray*}
$$B=\overline{A_1}\cap\cdots\cap\overline{A_{10}}.$$
On s'inspire du calcul de $p_4$ : pour obtenir $X=n$, on peut : ou bien avoir obtenu pile au 1er lancer (proba 2/3). On en déduit ici que
&=&\frac 1{5! \\
On effectue une suite infinie de tirages avec remise dans cette urne. Si le radar enregistre son excès de vitesse, Rémi perd un point sur son permis de conduite. de chaque lancer est $p^{r} (1-p)^{k-r}$. Si l'objet est défectueux, la probabilité de l'événement
On a $T=n$ si et seulement si $S_{n-1}=5$ et $X_n=1$. si $\lambda$ est un entier, la suite est strictement croissante juste $\lambda-1$, strictement décroissante à partir de $\lambda$ et le maximum est atteint en deux points : $P(X=\lambda-1)$ et $P(X=\lambda)$. Alors
Il vient
Soit $X$ une variable aléatoire réelle suivant une loi de Poisson $\mathcal P(\lambda)$. a dû subir un retard. On convient que $Y=0$ si les tirages n'amènent jamais une boule blanche. $$\sum_{n=0}^{+\infty}nq^n=\frac{q}{(1-q)^2}.$$
&=&\sum_{l=0}^k e^{-\lambda}\frac{\lambda^l}{l!}e^{-\mu}\frac{\mu^{k-l}}{(k-l)! &=\sum_{j=0}^k P(T=j)\sum_{l\in\mathbb Z}l P(S_j=l)\\
En 2020, le standard a reçu une succession d'appels. Le première pile étant obtenu, notons $Y_2$ le nombre de lancers nécessaires, depuis le premier pile, pour obtenir pour la première fois un autre pile. P(Y=1)&=&\frac 12\\
Déterminer $P(X=i\cap Y=j)$. \end{eqnarray*}
Il dispose de $n\geq 2$ clés dont une seule ouvre la porte de son domicile, mais il ne sait plus laquelle. }+\lambda e^{-\lambda}\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)! 2. On a
Il dispose de $n$ clefs dont une seule ouvre la porte de son domicile,
\end{align*}
P(Y=3)&=&\frac 12\times\frac 13\times\frac 34=\frac18. Donner l'ensemble $E$ des valeurs prises par $X$ et, pour $k\in E$, exprimer l'événement $X=k$ en fonction d'événements liés aux événements $A_1,\dots,A_k$. Si $\lambda-1<0$, c'est-à -dire $\lambda\in ]0,1[$, la suite $(P(X=k))$ est strictement décroissante, et donc son maximum est atteint en $P(X=0)$. La probabilité que $X=k$ sachant que $Y=n$ est la probabilité que parmi $n$ objets donc chacun peut présenter un défaut avec une probabilité $p$, les défauts étant indépendants les uns des autres, il y en ait exactement $k$ défectueux. fonctionnent indépendemment l'une de l'autre. On a donc :
L'événement $X=n$ correspond au déroulement suivant : on a obtenu un et un seul pile lors des $n+1$ premiers tirages, et le $n+2$-ième tirage donne un pile. On note $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de lancers nécessaires pour obtenir
constate que cet objet est défectueux. $$P(E_i | E_1\cap E_2\cap\dots \cap E_{i-1})\textrm{ et }P(S_i| E_1\cap E_2\cap\dots \cap E_{i-1}).$$. 1. \end{eqnarray*}
Comme on retire une clé à chaque essai infructueux, $Y$ ne peut prendre ses valeurs que dans $\{1,\dots,n\}$. \end{align*}
Une variable continue peut être numérique ou il peut s'agir de données de date/d'heure. De plus l'expression ci-dessus prouve que :
\begin{eqnarray*}
Déterminer la loi de probabilité de $X$, son espérance, sa variance. &=E(T)E(X_0). \begin{align*}
On regarde un hôpital. On a ensuite $P(X=3)=\frac{3}5\times\frac 25\times\frac 45=\frac{24}{125}$ et enfin $P(X=4)=\frac{3}5\times\frac 25\times\frac 15=\frac{6}{125}$. &=&\left( \frac{1}{9}\right) ^{k}e^{-20}\frac{1}{k! Alors on sait que
Une variable aléatoire est généralement désignée par une lettre majuscule X;Y;etc. La formule avec $n=1$ donne :
On en déduit que
Le point clé est d'observer que $P(G_1)+P(G_2)=1$. Alors $Y_1$ suit une loi géométrique de paramètre $p$. Donner la valeur de son espérance. Si on répète $n$ fois l'expérience, avec $n$ grand, et si on fait la moyenne des résultats obtenus, alors on aura une approximation de l'espérance. et que ce nombre est indépendant d'un hôpital à l'autre. \begin{eqnarray*}
On calcule
$$P(X=k)=\frac{r(r-1)\cdots(r-k+2)(b+k-1)}{(r+b)^k}=\frac{r! \sum_{n\geq 6}P(T=n)&=&\frac{1}{5! $$P(G_2)=P(G_1)P(\bar A)=(1-p)P(G_1).$$. $$P(X\geq 1)=1-P(X=0)=1-\left(\frac{3}{4}\right)^4.$$, On note $p=0,25$ et $q=1-0,25$. Notons $\sum_{n\geq 0}a_n t^n$, $\sum_{n\geq 0}b_n t^n$ et $\sum_{n\geq 0}c_n t^n$ les fonctions génératrices respectives de $X$, $Y$ et $Z$. $S_n$ représente le nombre de points perdus après $n$ jours. \end{align*}
D'après la contrainte imposée par l'énoncé, on a
&=p^2q^{j-1}+q^2 p^{j-1}. Votre bibliothèque en ligne. L'égalité est donc vérifiée au rang $k+1$ et par le principe de récurrence, elle est vérifiée pour tout $k\geq 0$. Montrer que $A_1,\dots,A_n$ sont des variables aléatoires indépendantes qui suivent une même loi. On en déduit que
&=&\prod_{i=1}^k \frac{n-i}{n-i+1}\\
&=&\frac1{\lambda}\sum_{k\geq 0}\frac{\lambda^{k+1}}{(k+1)! Le service de dépannage d'un grand magasin dispose d'équipes intervenant sur appel de la clientèle. En déduire que $P(X\geq 2n)\leq 1-\frac 1n$. Fixons $k\in\mathbb N$. Ainsi,
Quelle est la probabilité que $A$ soit diagonalisable? Comme les événements $A_1,\dots,A_{10}$ sont indépendants, on a
}e^{-a}\\
On va utiliser deux variables : instant qui désigne l'instant où l'on est, et $k$ qui désigne le spot allumé à l'instant courant. On détermine $\alpha$ et $\beta$ en testant sur les premiers termes ($p_2$ et $p_3$). Calculer la probabilité des événements $(X=1)$ et $(X=2)$. Le mode et la médiane sont des outils d'analyse de la dispersion d'une variable. L'équation caractéristique $r^2=r/3+2/9$ a pour solution $2/3$ et $-1/3$. \begin{align*}
&=&e^{-m}\left(\frac{p}{q}\right)^k\frac{1}{k!}\sum_{n=k}^{+\infty}\frac{(mq)^n}{(n-k)! Faire une boucle Tant Que et introduire une variable qui dit quand sortir de la boucle. \begin{align*}
X(!) Bien sûr on peut et on doit vérifier que
n-k\right) !n! Démontrer que $X$ admet une espérance. Lorsque la variable aléatoire ne prend qu'un nombre fini de valeurs, alors on dit que cette variable aléatoire est discrète. Quelle est la loi de $T_1$? On dispose d'une pièce amenant "pile" avec la probabilité $p$. Noter $X$ la variable aléatoire du nombre d'essais à effectuer avant d'ouvrir la porte. Pour calculer $P(Y=2)$, on peut faire un arbre de probabilité représentant les deux premiers choix de clés. Tous les jours, Rémi fait le trajet entre son domicile et son travail. Ceci choisi, l'événement élémentaire a une probabilité qui vaut $p^2(1-p)^n$. Pour $(X=4)$, cela se corse un peu ! &=\sum_{j=0}^k P(T=j)jE(X_0)\\
Ceci se produit avec une probabilité valant $p_{n-2}$. Vous travaillez seul ou en complément de votre cours en classe. Soit $i,j\in\mathbb N^*$. &=&\sum_{n=0}^{k-1}P\left[ X=k|Y=n\right] P\left( Y=n\right) \\
Introduire $P_k$ (resp. A chaque lancer, la probabilité d'obtenir pile est 2/3, et donc celle d'obtenir face est 1/3. }\left(\frac 1{20}\right)^6\frac{5! $$E(X^2)=\lambda^2 e^{-\lambda}\sum_{k=2}^{+\infty}\frac{\lambda^{k-2}}{(k-2)! $$P(X>k)=\frac{(n-1)^k}{n^k}.$$
Or, $S_j$, comme somme finie de variables aléatoires admettant une espérance, admet une espérance, et donc $\sum_{l=0}^N l P(S_j=l)\leq E(|S_j|)$. \[
$$(X=k)=A_1\cap\dots\cap A_{k-1}\cap\overline{A_k}.$$, Par la formule des probabilités composées,
$$E(X)=\sum_{n=1}^{+\infty}nP(X=n)=\frac{2(1-p)}{p}.$$. Pour un échantillon de 20 enfants de moins de deux ans, on note ðð le nombre aléatoire dâenfants qui sont vaccinés. \begin{align*}
ou bien avoir obtenu face au 1er lancer (proba 1/3). La variable aléatoire X est à valeurs x 1,x 2, â¦, x n on dit que X est une variable aléatoire discrète. p. 3 Exercice 10 Esp erance. $$E(X)=\sum_{k=0}^{+\infty}ke^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k! Pour $j\geq 2$, calculer $P(A_j|A_1\cap \dots\cap A_{j-1})$ et $P(\overline{A_j}|A_1\cap \dots\cap A_{j-1})$. }=\lambda e^{-\lambda}e^{\lambda}=\lambda.$$
Chaque hôpital peut réaliser 10 interventions chirurgicales d'urgence par jour,
On remarque d'abord que $Y$ est à valeurs entières. C'est beaucoup moins! \end{eqnarray*}
Alors $P(Y>0)^2=P(Y>0)$ ce qui implique que $P(Y>0)\in \{0,1\}$. "obtenir pile" de probabilité constante 0,3 lors d'une suite de lancers indépendants, donc $Y$ suit une loi géométrique de paramètre 0,3. $$"X=k"=A_k\cap \overline{A_{k-1}}\cap\cdots\cap \overline{A_s}.$$
penser à la loi binomiale. si $0\leq k\leq n$, $P(Z=k|X=n)=0$ sinon. Ecricome 2011 problème 2 Indice de concentration d'une variable discrète ENS 2010 exercice III Proportion de fraudeurs au fisc ENS 2011 exercice II Temps moyen de retour à l'équilibre dans un jeu de pile ou face. On doit prouver la convergence de $\sum_{l\geq 0}lP(Y=l)$ et la convergence de $\sum_{l<0}|l|P(Y=l)$. On peut proposer deux raisonnement très différents pour cette question. &=&\sum_{k=1}^{n-1}(k+1-k)P(X>k)-nP(X>n)+P(X>0)\\
Réciproquement, on suppose que $X$ admet une espérance. Il est clair que Xprend ses valeurs dans f0g[[20;50]. Déterminer la loi de $Y$. La probabilité que le premier tirage donne une boule rouge est 3/5. Dans ce cas, on a forcément obtenu face au second lancer (sinon $X=2$), donc avec une probabilité de 1/3. $$\frac{u_{k+1}}{u_k}=\frac{(k+1)}{k(k+2)}\to 0<1$$
avec une même probabilité $0.1.$ Donc $X|Y=n$ suit une loi binomiale
Combien effectuera-t-on en moyenne de lancers? Variable Aléatoire Continue. Calculer la probabilité pour que le spot $S_1$ reste constamment allumé jusqu'à l'instant $n$. Soit $X$ le nombre de piles obtenus au cours de 10 lancers. Noter $D$ l'événement : "l'objet est défectueux". On en déduit que
La partie s'arrête alors et le joueur qui a obtenu un 6 a gagné. On note $T$ le nombre de jours de validité de son permis dans le cas où celui-ci lui est retiré. Soit $D=$''l'objet est défectueux''. On peut aussi, en utilisant les notations de la question suivante, remarquer que
&\iff s\leq \alpha. (b+k-1)}{(r-k+1)!N^k}.$$. si, à l'instant $t=n,\ n\geq 0$, le spot $S_k$ ($2\leq k\leq 4$) est allumé, le spot $S_{k-1}$ s'allume à l'instant $t=n+1$. L'événement $(A_1=i_1,\dots,A_n=i_n)$ s'écrit aussi :
On note $E_i$ l'événement "on fait au moins $i$ essais et le $i$-ème ne convient pas" et $S_i$ l'événement "on fait au moins $i$ essais et le $i$-ème convient".